前言
这将是我预计总共有四篇的一个我对于几何学的一个概述，仅为一家之言，以供参考。在这一篇中，我将会主要介绍最“正统”的被称为几何学的部分，其主要的研究内容和方法。在第二篇中，我会介绍从几何学启发得到的一些研究领域，这些领域虽然脱胎于几何学，但是其研究的内容和方法已经和传统的几何学不太相同了。在第三篇中，我将会介绍一些几何和其他领域的类比，这些类比虽然是不严格的，但是却为研究提供了直观和启发。在第四篇中，我将会介绍几何学的方法被如何运用在不同领域的研究中，并用于解决一些重要的问题的。
什么是几何？
要谈论几何学，我们就要先知道什么是几何学。在这一系列的文章中，我所说的几何是包含拓扑学的。如果一定要区分几何学和拓扑学，我会认为拓扑学的研究对象是拓扑空间，而几何学的研究对象是带有额外结构的拓扑空间。接下来，我就根据研究对象的分类，来简单谈论一下几何学。在这里我略去了点集拓扑的内容，因为我真的不知道现在点集拓扑还有什么可以研究的。
代数拓扑
代数拓扑，顾名思义就是用代数的方法来研究拓扑空间，其中包括同伦论和（广义）同调论。一般来说，代数拓扑研究的对象是 CW 复形，或者更一般地是 compact generated weak Hausdorff 空间。代数拓扑是研究中重要的工具，而其本身的内容也不断被丰富。代数拓扑是一个理论和计算并重的一门学科，比如球面同伦群的计算就是一个至今未解决的问题。
一些研究方向：稳定同伦论；椭圆上同调、拓扑模形式和拓扑自守形式；K-理论；等变同伦理论等等。
流形拓扑
流形拓扑，顾名思义就是用拓扑的方法研究流形。其工具一般是割补理论。这一领域的著名工作之一就是 Milnor 关于怪球的研究。它说明在高维的时候（事实上在大于等于四维的时候）光滑流形范畴和拓扑流形范畴是不等价的。
一些研究方向：割补理论；流形模空间等等。
低维拓扑和扭结
所谓低微拓扑一般指的是研究小于等于四维的流形的拓扑学。下面将分维数进行讨论。
一维
平凡的。
二维
二维闭流形可以通过其亏格进行完全的分类，因此看起来似乎也很平凡。但一个给定的二维流形的复结构可以构成一个很有趣的模空间，即曲线的模空间（叫做曲线是因为它的复维数是一）。除此之外还有一个和模空间高度相关的空间， Teichmüller 空间。事实上模空间可以看作是 Teichmüller 空间的商。而曲线模空间和 Teichmüller 空间的几何与拓扑是一个被广泛研究，内容丰富的课题。
一些研究方向：Teichmüller 空间上的几何与动力系统；曲面的映射类群；随机曲面等等。
三维
三维流形相比于二维流形丰富很多。事实上我们并没有三维流形的完全分类。值得注意的是由于三维的拓扑流形范畴和微分流形范畴是等价的，因此在三维流形的研究中存在大量的微分几何的方法。其中最著名的莫过于 Perelman 对于 Thurston 几何化猜想的证明。
在三维流形的研究中，扭结理论是一个研究的热点。任何一个闭三维流形都可以通过对于三维球面中的一个 link 进行 Dehn Surgery 得到。在扭结的研究中，扭结不变量起着重要的作用，可以用于分类扭结。而 Witten 通过物理对于 Jones polynomial 进行了解释。因而数学物理，尤其是拓扑量子场论，也在扭结的研究中发挥了重要的作用。而包括量子群的模范畴在内的各种张量范畴在对于 Witten 的物理直观的严格数学化的过程中被引入了这一领域。
由于三维流形可以被视为四维流形的边界，因此在三维流形和扭结的研究中，规范理论发挥着重要的作用。
一些研究方向：扭结不变量；拓扑量子场论；双曲三维流形；Volume conjecture 等等。
四维
四维流形的世界是野的。首先任意的有限生成群都可以被实现为一个四维流形的基本群。因此对于四维流形的分类是不可能的。其次，在四维时拓扑流形和光滑流形的范畴是不同的。闭单连通的四维拓扑流形的分类工作由 Freedman 完成。在同一时期，Donaldson 使用规范理论证明了一些四维拓扑流形不存在光滑结构。同时我们知道，当 n 不等于 4 时，n 维欧式空间存在唯一的光滑结构。而 4 维欧式空间存在无穷多个（事实上不可数个）不同的光滑结构。这些现象都说明四维流形的世界是非常丰富和复杂的。在四维流形的研究中规范理论起着重要的作用。目前，对于四维流形上的光滑结构的研究还存在很多问题，比如，我们尚不知道四维球面上的光滑结构是否唯一（四维光滑庞加莱猜想）。
一些研究方向：拓扑量子场论；规范理论不变量等等。
微分几何
微分几何指的是通过分析的方法来研究微分流形。如果一定要对微分几何，黎曼几何和几何分析进行区分，那通常而言微分几何主要采用的是度量无关的方法，黎曼几何指的是通过常微分方程进行研究，而几何分析则是通过偏微分方程进行研究。由于使用了分析的方法，因此微分几何能够得到非常精细的结论。比如 Yau 对于 Calabi 猜想和正质量猜想的证明。
另一方面，物理中所使用的数学主要也是微积分，因此，微分几何是物理进入数学的一个重要窗口。比如对于广义相对论的研究，就是现代微分几何的一个重要组成部分。对于几何对象的不同度量的存在性，和度量所构成的模空间的研究，也是微分几何的重要课题。
一些研究方向：正曲率流形；极小曲面；Ricci flow；平均曲率流；特殊和乐群；指标定理；流形的谱等等。
度量几何
度量几何研究的是度量空间。其概念比黎曼流形更为广泛，在其上面也可以定义曲率，并建立比较定理。一个典型的度量空间是带有典范的度量的树。度量几何和几何群论紧密联系。
一些研究方向：负曲率空间及其上的群作用；比较定理等等。
复几何
复几何研究的对象是复流形。相比于微分几何而言，复几何更具有刚性，这点在复变函数中就可以看出来。由于复数的代数封闭性质，在复几何中，代数和分析的方法都可以得到很好的利用。因此复几何事实上可以作为将流形的几何直观与代数几何的抽象定义所沟通起来的桥梁。Hodge 理论是复几何中的重要理论。最初，它被陈述为紧 Kähler 流形上的一个比较定理。在 Deligne 通过 mixed Hodge 结构进行了推广。事实上，Hodge 结构和 mixed Hodge 结构，在不同的数学对象中广泛存在，因此成为启发不同数学的发展的重要直观。
另一方面，复几何中有不少定理联系了代数几何和微分几何两方面。比如 Donaldson-Uhlenbeck-Yau 定理将向量丛的稳定性和 Hermite-Einstein 联络的存在性联系起来，再比如 Yau-Tian-Donaldson 猜想，将 Fano 簇上 Kähler-Einstein 度量的存在性和 K-stability 联系起来。
一些研究方向：Kähler-Einstein 度量；Extremal Kähler 度量；Hodge 猜想等等。
辛几何与切触几何
辛几何研究的是带有辛结构的流形。其最初起源于对于理论力学中的 Hamilton 系统的研究。由于 Darboux 定理，辛流形不具有任何非平凡的局部不变量，因此，对于辛流形的研究必须要从整体着手，这使得辛几何变得非常有趣。辛几何具有刚性和柔性两方面。在辛几何的柔性研究中起到突破作用的是 Gromov 的 h-principle，通过 h-principle Gromov 证明了在辛流形上很多不同的辛结构可以通过同伦得到。在辛几何的刚性研究中起到突破作用的是 Gromov 于 1985 年发现的 J-holomorphic curves。利用这一理论，Gromov 证明了各种嵌入的存在/不存在性这些之前从未有人考虑过的问题，同时开辟了 J-holomorphic curve 这一广大的研究领域，并和 Floer homology 结合，最后发展为 Fukaya category，并通过同调镜像对称与复几何之间产生神奇的联系。Floer homology 作为 Morse 理论的无穷维类比，被用于解决辛几何中的 Arnold 猜想。而对于 Fukaya category 以及 Floer homology 的研究，是辛几何研究的重要课题。
切触几何最初和辛几何的发展几乎是平行的。二者的联系在于辛流形的边界正是一个切触流形。（但是并不是所有的切触流形都是辛流形的边界）但后来切触几何和辛几何就高度合流，几乎可以被算做一个学科。在切触几何中也有柔性和刚性两面，而切触流形可以通过和实数轴做乘积得到一个自然的辛流形，从而辛流形中的 J-holomorphic curve 等工具也被用于对于切触流形进行研究。和三维流形的情形类似，在切触三维流形中的 Legendrian knot 的研究也占据重要地位。而在 Legendrian knot 的研究中， Chekenov 引入了一个微分分次代数的不变量，之后的研究又将这一不变量和 microlocal sheaf 理论联系起来。这些研究都使得切触几何变得丰富而深刻。
一些研究方向：Fukaya category；Gromov-Witten 理论；Lagrangian filling；Symplectic field theory 等等。
代数几何
代数几何研究的对象是代数簇和概形。由于 GAGA 的存在，复的射影代数簇范畴和复射影流形范畴是等价的。因此，复分析在代数几何中也有重要的作用，比如 Kodaira 消灭定理。但要注意到在代数几何中，其拓扑和一般的流形拓扑有很大的差别。而且代数几何的基域也可以是复数域之外的其他域。因此代数几何的对象是非常广泛的。
双有理几何是代数几何中的一个重要领域，其主要的内容是根据双有理等价对于代数簇进行分类。对于曲面的分类很早就完成了。但是对于三维复代数簇的分类，直到 Mori 才取得重要的进展。Mori 将奇点引入了双有理几何之中，说明了奇点在其中的重要作用。
在代数几何近年的发展中，代数簇的导出范畴发挥着重要的作用。代数簇的导出范畴和代数簇的有理性，双有理等价等都有所联系。而将代数几何中的构造也可以被提升为导出范畴中的构造。这些研究形成了一个新的研究对象，即非交换代数几何。它可以被视为对于 Grothendieck 的通过 QCoh 来研究代数几何的延续。
受到数学物理的影响，计数几何也逐渐成为代数几何中的一个重要领域，包括对于 Gromov-Witten，Donaldson-Thomas 等不变量的计算，以及它们之间的关系的解析。由于代数几何的丰富工具，模空间的奇点问题在代数几何的框架下能够得到较好的处理，从而得到有效的不变量。
一些研究方向：非交换代数几何；代数簇的有理性；代数簇及其导出范畴的自同构；阿贝尔簇及其模空间；计数几何；镜像对称；双有理几何；导出代数几何；奇点理论；hyperkähler 几何；K3 surface 等等。
非阿基米德几何和热带几何
非阿基米德几何的对象是解析簇和相关的对象，包括 Formal geometry，Berkovich 空间，Adic 空间以及 Perfectoid 空间。虽然它们的定义更加复杂，但是通过它和复代数簇的对比，就可以利用一些几何的想法来对于非阿基米德数域进行研究。同时，通过形式幂级数域，它也可以被用于微扰量子场论相关的数学物理的研究之中。
热带几何的对象就是热带簇。热带簇和非阿基米德簇相似，是一个更为离散对象。它具有组合本质。因此，热带几何在组合中有重要的应用。同时它可以被视为一种退化的代数簇，并因此在数学物理中发挥作用。
一些研究方向：退化模空间；镜像对称；非阿基米德动力系统；p 进 Hodge 理论等等。