从第一次学习代数几何到现在差不多过了一年的时间了。从最开始的一脸懵，到现在终于了解了代数几何的一些想法，过程可以说是非常的不容易了。正好在准备一个计数几何的讨论班，就想整理一下我对于代数几何的一些想法。以下的内容都是我的粗浅想法，欢迎大家批评指正。
Mumford 曾经在 Curves and their Jacobians 中说：“[Algebraic geometry] seems to have acquired the reputation of being esoteric, exclusive, and very abstract, with adherents who are secretly plotting to take over all the rest of mathematics. In one respect this last point is accurate.”确实，代数几何已经成为了几何、代数、数论、数学物理等领域不可或缺的一部分，Peter Scholze 甚至尝试把一部分的分析也纳入这一个框架之中。那么代数几何为什么如此重要，如此强大呢？
代数几何，无论从英语的词源还是中文的词源来说都有两部分，代数和几何，这也代表了代数几何的两条主线： 用代数的方法来描述研究几何，以及赋予代数对象以几何的含义 。接下来，我将对这两条主线进行进一步的分析，看一看现在的数学是如何发展这两条主线的。
首先，作为一个“几何学家”（自认的），使用代数的方法来描述几何是非常自然的。事实上，我们能所处理的大多数流形或者 CW complex 都是代数簇，而其他的不是代数簇的流形是不容易描述的。一般来说，除了方程的零点所切出的流形之外，其他的流形大多是通过这些元素拼接、做商、手术而得到的。因此，既然很多的流形都是方程的零点，那么通过研究方程来研究几何就变成了一个非常自然的想法。
进一步的，Chow 的定理，Serre 的 GAGA，Kodaira 的一系列定理告诉我们复解析几何和复代数几何在某种意义上是等价的。既然如此，代数几何的研究就成为了复几何的重要组成部分。复几何的很多概念都可以在代数几何中找到对应，包括 Blow-up，除子，余切丛等。上面提到，几何的对象，如流形、CW complex，以及相关的度量等是不容易描述的。 由于代数往往比拓扑、几何更加精确而可操作 ，因此在复几何的一些问题，在代数几何中能够处理地更清楚。比如双有理等价以及由此引出了 Minimal Model Program 的代数簇的双有理等价类的分类问题，比如 Resolution of Singularities 的证明。在具体的处理过程中用到了大量的归纳法，而这在分析的框架中是不容易说清楚的。代数几何所具有的函子性，使其能够方便地构造产生一系列的模空间，而这些模空间本身也具有一定的代数结构。因此使用代数的方法来研究几何是非常有力的。
必须指出用代数的方法研究几何并不是从代数几何独有的，另一个重要的领域就是代数拓扑，二者都是使用代数的方法来研究几何，因此两者往往相互交织，比如代数几何中的上同调理论就是代数拓扑的上同调理论的启发，代数圈从某种意义上是同调类的精细化（refinement），甚至于更新的代数 K 理论以及 A1-同伦都体现了代数几何和代数拓扑之间的相互渗透，包括导出代数几何就是将同伦论的方法引入了代数几何的研究之中，并已经展现出一定的威力。
使用代数的方法来研究几何的另一个优点在于，采用了代数的方法的几何的结论有了更大的普适性。这是因为微分几何必须要求某种连续性的结构（over \(\mathbb{R}\) 或 over \(\CC\)），但代数结构可以在任意域，甚至环上进行操作。如果从代数学家的角度来看，代数几何能够赋予代数对象几何的含义。这就是我想要说的第二个方面。
代数虽然精确，但往往抽象；拓扑、几何虽然不精确但是非常形象。 因此，将抽象的东西转化为形象的东西是一个非常自然的想法，而代数几何恰好能够提供这样一个渠道。在交换代数中有包括局部化、维数在内的诸多概念，只有放在代数几何的框架下才能比较好地加以解释。而一旦接受了几何化的描述，那么很多定理的证明思路就更加清晰了，这就是形象化的优点。
使用“几何”化的方法来研究代数也有广泛的应用，数论中的一个重要问题就是分析方程的整数解或者有理解的问题。而这一问题，能够很自然地转化成代数曲线上的整点和有理点的问题。虽然这里的代数曲线并不是 over \(\CC\) 的，但是很多时候几何的直观依然有效，从而能够为我们如何证明一些相关的定理提供一些指导。由此，便产生了算术几何这一庞大的领域。这也体现了代数几何的强大力量。
除了算术几何之外，另一个重要的例子是几何表示论。关于几何表示论有很多的方面，但都绕不开代数几何，因为代数几何是几何与表示论（代数）的自然结合点。通过将代数对象表示为几何对象，就能够利用丰富的几何直观对定理进行证明。这一想法既是自然的——它是逆用定理、公式的典型例子——又是天才的——因为构造往往是不显然的。几何表示论无疑已经成为表示论研究的重要方向，并且表现出了巨大的能量。
同样也要指出，赋予代数对象几何解释也不是代数几何的专利。比如几何群论（非交换几何？）就是另一种方向和路径。几何群论通过赋予群以几何的结构证明了一系列重要的群论的定理，也体现出了几何方法在代数中的强大力量和作用。几何群论和算术几何、几何表示论之间的联系就不像代数几何和代数拓扑之间那么紧密了。
最后，我想引用 Hermann Weyl 的一句话：“In these days the angel of topology and the devil of abstract algebra fight for the soul of every individual discipline of mathematics.”而代数几何的强大正在于能够将恶魔和天使统一起来，从而发挥出巨大的力量。