表示论在量子场论中的作用
我们知道在量子场论之中，量子态用 Hibert space 的向量来表示，而算符正是 Hilbert space 上的算子。在量子场论中有一些特殊的变换，它们是由 Poincaré 变换生成的，要考虑它们在 Hilbert space 上的作用，就需要得到它们的表示。
这里需要做一些简单的说明，量子场论是 Poincaré 不变的，并不意味着 Poincaré 变换对于 Hilbert space 或者算符没有作用，因为这些东西都是不可测量的，只要能够使得可测量的东西（如 S-matrix）和 Poincaré 变换保持一致就可以了。
在 Weinberg 的讨论中，我们首先构建了单粒子态，然后观察 Poincaré 群在这一个单粒子态上的作用，通过要求除能动量外的其他算符的本征值的离散性，我们发现可以把 Poincaré 群的表示转化为小群（small group）的表示。根据质量是否为零，小群的结构有差异。在零质量时会发现连续谱的情况，为了避免这一情况出现必须对零质量的粒子态做更多的限制，从而引出了 helicity 的概念。
在最后，通过对于 Lorentz 群的进一步讨论，我们可以确定 helicity 必须为整数或半整数。这里的核心在于 Lorentz 群并不是单连通的。由于存在不平凡的路径，因此如果粒子态沿着这一条路径变化不需要满足连续性原理而恢复原来的状态。但是由于 Lorentz 群的基本群为 \(\ZZ / 2 \ZZ\)，因此沿任意路径走两圈就必须恢复原来的粒子态。所以绕路径一圈的可能情况只有乘以 \(1\) 或 \(-1\)。（这或许就是费米子和玻色子产生的原因？如果时空变换群是单连通的，那么就没有这种情况了。）
S-matrix
对于物理理论来说关键不在于其复杂的构建过程，而在于其中究竟有什么是可以测量的，从而能够于现实进行比较。这一点在数学物理中是很重要的，因为很多数学物理的猜想之所以强大，正是因为不同的物理理论给出了相同的可观察量的结果，从而是物理等价的。这样两个物理理论背后的数学理论也会被认为具有一定程度的等价性，这就是数学物理的强大力量。
在物理中，可观察量必须遵循一些规则。首先，我们能够测量的只有标量；其次可测量量在一个理论中必须是可以计算的。在量子场论中，重要的可观察量，就是 S-matrix，在某种意义上是一种概率。在 Weinberg 的推导过程中，他指出实验一般以一个时间趋向负无穷的（粒子之间相互作用忽略不计）固定的态开始然后观察时间趋向正无穷后（粒子之间相互作用忽略不计）粒子态。而 S-matrix 描述的正是这一结果。Weinberg 在推导的过程中切换了 Heisenberg picture 和 Schrödinger picture 之间切换。注意如果两个粒子态在 Heisenberg picture 中相等，意味着两者粒子态在任意时间都在 Schrödinger picture 中相等。因此在比较两者粒子态是否在某一时间相等时，一般都默认了使用 Schrödinger picture。
Feymann rule 的推导
Feymann rule 的推导有以下三个部分。第一部分是通过使用时间演化算符的随时演化关系，将 S-matrix 表示为一系列的无穷积分的乘积，其中自由粒子的 Hamiltonian 部分被吸收了。 \[S = T \exp(-i \int_{-\infty}^{\infty} \dif t V(t))\]
接下来要计算这一无穷积分，我们使用微扰展开，在固定初始态和最终态的情况下计算 S-matrix，其中的重要工具是 Wick theorem，这一点在 Weinberg 中只是稍稍提及，可以参考 Peskin 和 Schroeder 的书。主要的想法在于首先计算出各个项之间的交换子和反交换子，然后通过配对的过程来减少变量的数目，直到所有变量消完得到最终的答案。由于配对的方法很多，因此常常使用 Feymann graph 来进行计算。在其中 Feymann graph 的自由边代表的是积分中的产生或者湮灭算子，而图内的顶点代表的是某一个势能的项。连线代表着积分中的连线两端的项通过 Wick contraction 化为了新的量。从而，积分的问题就转换为了 Feymann 图的计算的问题。
第三部分，是从坐标积分转化为动量积分。这一步的转换，我还看不到物理的背景。就数学来看，这是由于在产生、湮灭算子和势能的配对中会产生 \(\exp(\pm ipx)\) 项，而在势能项的配对过程中会产生 propagator，而 propagator 可以表示成对于 \(p\) 的积分。由于同时具有对于 \(p\) 和 \(x\) 的积分，通过积分换序（这一步严格化了么？），可以首先对 \(x\) 进行积分，从而各种 \(\exp(\pm ipx)\) 刚好会全部消失，转化为 \(\delta\) 函数，表现为动量守恒的形式。但是在我看来这种转化近乎于数学上计算的巧合，而不是物理的直观，可能需要进一步的解释。
费米子和旋量
这一部分我自己依然很不清楚。 首先，我们简要的解释一下，为什么场在数学方面的文献中往往被表示纤维丛，而在物理文献中只是标量和向量。这是因为 \(\RR^{n}\) 恰好是一个可缩的空间，因此在其上的纤维从都是平凡的。所以只要在可缩空间上工作，二者是没有差异的。但是由于数学往往要考虑一般的流形，因此为了保证一定的相容性，就必须使用纤维丛，否则场就会出现不良定义的情况。（在流形上 Lorentz 群可以被其他群作用替代，然后场的 gauge invariance 也会变成对于新的群的 invariance。）但是由于，一般的 \(G\)-bundle 不容易计算，因此往往考虑其的一个表示，然后将其转化为向量丛的计算问题。Spinor bundle 是特殊的 bundle with structure group \(Spin\)，它的表示并不是由 \(SO\) 诱导而来的。在流形的构造中，Operators/States 可以使用 Wightman’s axioms 来描述。
遗留问题：
- 怎么能够看出 Spinor bundle 和费米统计之间的联系？